Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5:
an → 5, 10, 15, 20, 25, 30. Observemos que la suma de los extremos es:
a1 + a6 = 5 + 30 = 35 y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:
a2 + a5 = 10 + 25 = 35
a3 + a4 = 15 + 20 = 35 En general, en una progresión aritmética limitada se verifica:
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de
n términos consecutivos de una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas.
S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30
S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 +
2S6 = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35
2S6 = 6 · 35 = 6 · (5 + 30)
S6 = [6 · (5 + 30)] : 2 = 105 Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión
a1,
a2,
a3,...,
an-1,
an?
Llamemos
Sn a la suma de los
n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo los sumandos en una de ellas.
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1 +
Sumando las dos igualdades resulta:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1) Como hay
n paréntesis y el valor de cada uno es (
a1 +
an) se tiene:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an)·n de donde:
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