INTERPOLACION DE TERMINOS

Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres números a, b y c de manera que 2, a, b, c, 14 estén en progresión aritmética.
Tenemos que a₁ = 2, a₅ = 14 y n = 5. Aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética, se tiene que:




a₅ = a₁ + 4d → 14 = 2 + 4d → d = 3 Por tanto, la progresión aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14.
Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios aritméticos. 

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. Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5:

• a_n → 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Observemos que la suma de los extremos es:

• a₁ + a₆ = 5 + 30 = 35

y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:

• a₂ + a₅ = 10 + 25 = 35

• a₃ + a₄ = 15 + 20 = 35

En general, en una progresión aritmética limitada se verifica:




a₃ + a_n-2 = a₂ + a_n-1 = ... = a₁ + a_n En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas.






S₆ = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 
S₆ = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5      +

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2S₆ = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 
2S₆ = 6 · 35 = 6 · (5 + 30)
S₆ = [6 · (5 + 30)] : 2 = 105   Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión a₁, a₂, a₃,..., a_n-1, a_n?
Llamemos S_n a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo los sumandos en una de ellas.




S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n
S_n = a_n + a_n-1 + ... + a₂ + a₁      +

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Sumando las dos igualdades resulta:




2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n-1 + a₂) + (a_n + a₁)  Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a₁ + a_n) se tiene:




2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) = (a₁ + a_n)·n de donde: