INTERPOLACION DE TERMINOS

Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres números a, b y c de manera que 2, a, b, c, 14 estén en progresión aritmética.
Tenemos que a₁ = 2, a₅ = 14 y n = 5. Aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética, se tiene que:




a₅ = a₁ + 4d → 14 = 2 + 4d → d = 3 Por tanto, la progresión aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14.
Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios aritméticos. 

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. Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5:

• a_n → 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Observemos que la suma de los extremos es:

• a₁ + a₆ = 5 + 30 = 35

y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:

• a₂ + a₅ = 10 + 25 = 35

• a₃ + a₄ = 15 + 20 = 35

En general, en una progresión aritmética limitada se verifica:




a₃ + a_n-2 = a₂ + a_n-1 = ... = a₁ + a_n En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas.






S₆ = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 
S₆ = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5      +

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2S₆ = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 
2S₆ = 6 · 35 = 6 · (5 + 30)
S₆ = [6 · (5 + 30)] : 2 = 105   Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión a₁, a₂, a₃,..., a_n-1, a_n?
Llamemos S_n a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo los sumandos en una de ellas.




S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n
S_n = a_n + a_n-1 + ... + a₂ + a₁      +

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Sumando las dos igualdades resulta:




2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n-1 + a₂) + (a_n + a₁)  Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a₁ + a_n) se tiene:




2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) = (a₁ + a_n)·n de donde:

PORCENTAJES

El porcentaje se expresa mediante un adjetivo (número) y un adverbio (por ciento) que complementa su significado. El estándar del si considera que el signo "por ciento" (%), reconocido internacionalmente, es un símbolo matemático que equivale 0,01 (50 % = 50 · 0,01 = 0,5) y recomienda escribirlo separado con un espacio de la cifra (como los símbolos de unidades). Admite la posibilidad de escribirlo íntegramente en letras cuando va con cifras, pero recomienda el signo:

15 por ciento

15 %

Las normas internacionales como el SI no consideran otras grafías como por 100, que eran corrientes antaño; en ella se entremezcla la lengua formal y la verbal, por lo que debe considerarse incorrecta. Para evitar que haya un salto de línea entre la cifra y el símbolo, han de separarse con un espacio o divsion.
En algunos manuales de estilo, como el MELE no comparten el punto de vista de las normas internacionales y consideran que la expresión íntegramente en palabras es incorrecta y que la correcta es por 100. (En español, 15 por 100 es ambigua, pues puede significar 15 × 100 en lugar de 15/100.)
Aunque las academias de la lengua recomendaron durante un tiempo (en el DPD) considerar el símbolo de porcentaje una excepción, en la Ortografía del 2010 se ajusta a las normas generales, con un espacio. El manual de estilo de el País prefiere escribirlo pegado. El Sistema Internacional de Magnitudes (ISO 80000-1), por otra parte, destaca que % no debe ser una excepción a la norma de separar el valor del símbolo con un espacio.
Si el número se expresa con letras, no debe emplearse el signo sino por ciento:

•  El seis por ciento tenía dudas sobre el resultado.

• El seis % tenía dudas sobre el resultado.

Por cien y por ciento

Por cien se utiliza con frecuencia, en vez de por ciento en la expresión de porcentajes, aunque el DPD considera este uso incorrecto.
Si el porcentaje es igual a la totalidad (100 %), se pueden utilizar las expresiones cien por cien, ciento por ciento y cien por ciento.

Ejemplos prácticos de expresiones de porcentajes

Expresamos como número decimal el porcentaje 75 %

75% = 75 100 = 0,75

Indicamos el porcentaje que corresponde al número 0,87

0,87 = 87 100 = 87%

Expresamos en porcentaje 1 2 y 3 5

1 2 = 0,5 = 50%
3 5 = 0,6 = 60%

Cuando dices "por ciento" en realidad dices "por cada 100"

	Así que 50% quiere decir 50 por 100 (50% de la caja es verde)
	Y 25% quiere decir 25 por 100 (25% de la caja es verde)

Ejemplos: Porcentajes de 80

	100% of 80 is 100/100 × 80 = 80 So 100% means all.
	50% of 80 is 50/100 × 80 = 40 So 50% means half.
	5% of 80 is 5/100 × 80 = 4                  So 5% means 5/100ths.

EJERCICIOS COMPUESTOS

1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5.
2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término.
3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos.
4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a₃ = 24 y a₁₀ = 66.
5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20.
6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27.
7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.
8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.
9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000.
10. El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y la diferencia es 3. Halla dichos términos.
11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064?
12. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumado?
13. Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es 18 y la diferencia es 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión.
14. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética . La diferencia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos.
15. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión.
16. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números.
17. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos.
18. El producto de cinco números en progresión aritmética es 12320 y su suma 40. Halla estos números sabiendo que son enteros.
19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades.
20. La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de loa extremos es 30. Halla los términos de la progresión.
21. Halla cuatro números en progresión aritmética, conmociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.
22. La diferencia de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros términos es 585. Halla los términos.
23. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primeros suman - 3 y los tres últimos 24.
24. En una progresión aritmética el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados.
25. En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos.
26. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética.
27. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos.
28. Halla las dimensiones de un ortoedro sabiendo que están en progresión aritmética , que suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m³.
29. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre el mayor y el menor es 60º. Calcula el valor de cada ángulo.
30. Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética y suman 36 metros. ¿Cuánto mide cada lado?
31. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber?
32. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años?
33. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos.
34. Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?
35. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?
36. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2.
37. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. 
38. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término?
39. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término.
40. Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128.
41. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón.
42. Descompón el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor.
43. El volumen de un ortoedro es de 3375 cm³. Halla la longitud de sus aristas, sabiendo que están en progresión geométrica y que la arista intermedia mide 10 cm. más que la menor.
44. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,...
45. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,...
46. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.
47. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,...
48. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216.
49. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el término central vale 2.
50. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcula dichos números.
51. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125.
52. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889?
53. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos.
54. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos.
55. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números.
56. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425.
57. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es 27 veces el menor.
58. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estas dimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m³
59. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136.
60. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre los extremos 192. Halla dichos números.
61. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175.
62. En una progresión geométrica, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54, respectivamente. Halla el término sexto.
63. Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos.
64. Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estén en progresión geométrica.
65. A una cuerda de 700 m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos tiene una longitud de 100 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo.
66. Halla la fracción generatriz del número decimal 0,737373... como suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada.
67. Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 10 de octubre?
68. Dado un cuadrado de 1 m. de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas así obtenidas.
69. ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro se han pagado 7600 ptas. y por cada uno de los restantes 1500 ptas. más que por el anterior, sabiendo que en total se han pagado 43600 ptas.?
70. Tres números cuya suma es 36 están en progresión aritmética. Halla dichos números sabiendo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresión geométrica.

INTERES COMPUESTO

• En el primer año la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160.000 ptas.
Al final del primer año las 160.000 ptas. ganadas no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de 1.760.000 ptas. En el segundo año el interés que 1.760.000 ptas. producen es: 1.760.000 · 0,1 = 176.000 ptas.
• En los dos años el interés producido es:
160.000 + 176.000 = 336.000 ptas.Por tanto, el capital de 1.600.000 ptas. se convierte en los dos años en: 1.600.000 + 336.000 = 1.936.000 ptas.
• Se puede obtener directamente el capital final al cabo de los dos años:
C = 1.600.000 · (1 + 0,1)² = 1.936.000 ptas.En general, el capital final (C_t) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto por ciento anual r es:

INTERES SIMPLE

• Como el interés que produce 1 peseta en 1 año es de 10/100 ptas. = 0,1 ptas., el interés total es:
1.600.000 · 0,1 = 160.000 ptas.Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1.600.000 ptas. En el segundo año, el capital vuelve a producir otras 160.000 ptas.
• En los dos años el interés producido es:
160.000 + 160.000 = 320.000 ptas.Por tanto, el capital se convierte en los dos años en: 1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 ptas.
• Se puede obtener directamente el interés en los dos años:
i = 1.600.000 · 0,1 · 2 = 320.000 ptas.En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es: Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es: Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es:

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA DECRECIENTE

La progresión a_n = 2 · 10 ^{1 - n} → 2, 2/10, 2/100, 2/1000, ... es una progresión geométrica de razón positiva y menor que 1 (r = 1/10), es decir, es una progresión geométrica decreciente e ilimitada y sus términos se hacen cada vez menores, pudiendo llegar a ser más pequeños que cualquier número dado.
Para obtener la fórmula de la suma de estas progresiones multiplicamos por -1 el numerador y el denominador de la fórmula anterior:
Si r es positivo y menor que la unidad, por ejemplo r = 1/100, ¿qué ocurre con la suma anterior al crecer n?
La primera fracción permanece constante, pues no depende de n, pero rⁿ se hace tan pequeño como queramos. Por esta razón, para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente se utiliza esta fórmula:

 

Según la definición anterior, en la progresión geométrica a₁, a₂, a₃, a₄, a₅,..., a_n, se verifica:
a₂ = a₁ · r
a₃ = a₂ · r = a₁ · r · r = a₁ · r ²
a₄ = a₃ · r = a₁ · r ² · r = a₁ · r ³ Generalizando este proceso se obtiene el término general:

an = a1 · r n - 1

Ejemplos:

• ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...?
La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r = 6 : 3 = 2.
• ¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a₁ = 2 y r = 3?
Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3. También se puede obtener directamente: a₅ = a₁ · r^{5 - 1} = a₁ · r⁴ → a₅ = 2 · 3 ⁴ = 2 · 81 = 162 

Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primer término. Como a_n = a₁ · r ^{n - 1}   y   a_k = a₁ · r ^{k - 1}, despejando a₁ en ambas expresiones e igualando resulta:  a_n = a_k · r ^{n - k}